两独立样本均值差置信区间¶
两组样本均值分别用 \(\hat{\mu}_1\) 和 \(\hat{\mu}_2\) 表示，两组样本标准差分别用 \(s_1\) 和 \(s_2\) 表示，两组样本量分别用 \(n_1\) 和 \(n_2\) 表示。
假设两组方差相等¶
\[
\begin{align}
L & = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - t_{1-\alpha/2, n_1+n_2-2} \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} \\
U & = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 + t_{1-\alpha/2, n_1+n_2-2} \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}
\end{align}
\]
定义均值差到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha/2, n_1+n_2-2} \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}
\]
\[
\begin{align}
L & = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - t_{1-\alpha, n_1+n_2-2} \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)} \\
U & = + \infty
\end{align}
\]
定义均值差到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha, n_1+n_2-2} \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}
\]
\[
\begin{align}
L & = - \infty \\
U & = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 + t_{1-\alpha, n_1+n_2-2} \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}
\end{align}
\]
定义均值差到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha, n_1+n_2-2} \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}
\]
假设两组方差不等¶
两组方差不等时，不能使用一般的 \(t\) 检验构建置信区间，应当使用近似 \(t\) 检验，如 Welch-Satterthwaite \(t\) 检验。
Welch-Satterthwaite \(t\) 检验对自由度进行了校正：
\[
v = \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)} + \frac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}
\]
\[
\begin{align}
L & = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - t_{1-\alpha/2, v} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\
U & = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 + t_{1-\alpha/2, v} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
\end{align}
\]
定义均值差到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha/2, v} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
\]
\[
\begin{align}
L & = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 - t_{1-\alpha, v} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}} \\
U & = + \infty
\end{align}
\]
定义均值差到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha, v} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
\]
\[
\begin{align}
L & = - \infty \\
U & = \hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2 + t_{1-\alpha, v} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
\end{align}
\]
定义均值差到置信限的距离为 \(d\)，则：
\[
d = t_{1-\alpha, v} \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}
\]