相关系数置信区间¶
假设总体相关系数用 \(r\) 表示，经 Fisher's z 转换后用 \(z_r\) 表示：
\[
z_r = \operatorname{arctanh}r = \frac{1}{2} \ln{\frac{1+r}{1-r}}
\]
则样本相关系数 \(\hat{r}\) 经 Fisher's z 转换后，近似服从正态分布：
\[
z_\hat{r} \sim N\left(z_r, \frac{1}{n-3}\right)
\]
通过计算 \(z_\hat{r}\) 的置信区间，并利用以下公式将置信限反转，可得到样本相关系数 \(\hat{r}\) 的置信区间：
\[
r = \operatorname{tanh}r = \frac{e^{2 z_r} - 1}{e^{2 z_r} + 1}
\]
以下仅给出 \(z_{\hat{r}}\) 的置信限。
未校正偏倚¶
\[
\begin{align}
L & = z_{\hat{r}} - z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{1}{n-3}} \\
U & = z_{\hat{r}} + z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{1}{n-3}}
\end{align}
\]
置信区间宽度：
\[
d = \operatorname{tanh}U - \operatorname{tanh}L
\]
\[
\begin{align}
L & = z_{\hat{r}} - z_{1-\alpha} \sqrt{\frac{1}{n-3}} \\
U & = 1
\end{align}
\]
从相关系数到置信下限的距离：
\[
d = r - \operatorname{tanh}L
\]
\[
\begin{align}
L & = -1 \\
U & = z_{\hat{r}} + z_{1-\alpha} \sqrt{\frac{1}{n-3}}
\end{align}
\]
从相关系数到置信上限的距离：
\[
d = \operatorname{tanh}U - r
\]
校正偏倚¶
在 未校正偏倚 的基础上加入校正项 \(\frac{r}{2(n-1)}\)，即：
\[
z_\hat{r} + \frac{\hat{r}}{2(n-1)} \sim N\left(z_r, \frac{1}{n-3}\right)
\]
\[
\begin{align}
L & = z_{\hat{r}} - \frac{\hat{r}}{2(n-1)} - z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{1}{n-3}} \\
U & = z_{\hat{r}} - \frac{\hat{r}}{2(n-1)} + z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{1}{n-3}}
\end{align}
\]
置信区间宽度：
\[
d = \operatorname{tanh}U - \operatorname{tanh}L
\]
\[
\begin{align}
L & = z_{\hat{r}} - \frac{\hat{r}}{2(n-1)} - z_{1-\alpha} \sqrt{\frac{1}{n-3}} \\
U & = 1
\end{align}
\]
从相关系数到置信下限的距离：
\[
d = r - \operatorname{tanh}L
\]
\[
\begin{align}
L & = -1 \\
U & = z_{\hat{r}} - \frac{\hat{r}}{2(n-1)} + z_{1-\alpha} \sqrt{\frac{1}{n-3}}
\end{align}
\]
从相关系数到置信上限的距离：
\[
d = \operatorname{tanh}U - r
\]